算法专题：单源最短路径 – Bellman-Ford Algorithm

上一篇文章介绍了一下 Dijkstra Algorithm，但是它仅局限于处理非负权值的图。若图中出现负边，Dijkstra Algorithm 就会出现错误。这时候就需要使用其他的算法来求解单源最短路径。

Ballman-Ford 是一个非常实用的算法，它是由美国数学家 Richard Ballman 和 Lester Ford 发明的。Ballman-Ford 算法的基本流程如下：

初始化 $ pDist\left [ \right ] $ 数组。检查每一条边，如果源点到该条边的起点有通路，则更新原点到该条边的终点的最短路径。循环 $ V $ 次即可得到结果。如若要检测是否存在负环，则再检查每一条边，若可以松弛，则有负环。

我们来看一张图片具体体会一下 Bellman-Ford Algorithm：

这个算法相对而言比较容易实现，复杂度为 $ O\left ( VE \right ) $ 。

代码如下：

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

const int MAX = 10240;
const int INF = 2147483647;

struct Edge
{
	Edge(int _s, int _e, int _v)
	{
		s = _s; e = _e; v = _v;
	}

	int s, e, v;
};

int N, M;
int pDist[MAX];
vector<Edge> pEdge;	// 边集数组

void Ford(int s);

int main()
{
	cin >> N >> M;
	for(int i = 1; i <= M; i++)
	{
		int s, e, v;
		cin >> s >> e >> v;
		pEdge.push_back(Edge(s, e, v));		// 无向图
		pEdge.push_back(Edge(e, s, v));
	}
	Ford(1);
	return 0;
}

void Ford(int s)
{
	bool bNativeLoop = false;	// 记录是否存在负环
	for(int i = 1; i <= N; i++)	// 初始化
	{ pDist[i] = INF; }
	pDist[s] = 0;
	for(int i = 1; i <= N; i++)	// 循环N次
	{
		for(int j = 0; j < pEdge.size(); j++)	// 每次检查每一条边
		{
			int s = pEdge[j].s, e = pEdge[j].e, v = pEdge[j].v; 
			if(pDist[s] != INF)	// 如果源点可以到达顶点s则进行松弛
			{
				pDist[e] = min(pDist[e], pDist[s] + v);
			}
		}
	}

	for(int i = 0; i < pEdge.size(); i++)	// 检查负环
	{
		int s = pEdge[i].s, e = pEdge[i].e, v = pEdge[i].v; 
		if(pDist[e] > pDist[s] + v)	// 若松弛完毕后还能松弛，则存在负环
		{
			bNativeLoop = true;
			break;
		}
	}
	if(bNativeLoop == true) { cout << "Exist Native Loop" << endl; }
	else
	{
		for(int i = 1; i <= N; i++)
		{
			cout << pDist[i] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
}